Jumat, 27 Januari 2012

Gerak Jatuh Bebas + Gaya Gesekan Udara

GERAK JATUH BEBAS

Pada pembahasan dan soal-soal Gerak Jatuh Bebas (GJB) di SMA (Kelas X) biasanya tidak pernah menyertakan gaya gesekan dalam perhitungannya, atau gaya gesekan diabaikan, padahal gaya gesekan itu pasti ada dan tidak bisa diabaikan begitu saja dalam Gerak Jatuh Bebas yang sebenarnya. Jadi pada postingan kali ini saya akan mencoba memasukkan faktor gaya gesekan udara pada GJB.

Mengenai gaya gesekan udara, tentu sudah pernah disinggung ketika kita mempelajari Fluida Statis di kelas XI IPA Semester 2 di bagian yang terakhirnya, yaitu mengenai kekentalan fluida dan Hukum Stokes, yaitu :

F = k.eta.v

k adalah konstanta yang bergantung bentuk benda, jika benda berbentuk bola, maka k = 6.pi.r
eta adalah koefisien viskositas, dalam hal ini adalah udara, yang secara normal nilainya 1,8 x 10^-5 kg/ms
v adalah kecepatan benda

Jadi dari rumus di atas kita memperoleh beberapa prinsip, yaitu :
1. Gesekan udara bergantung bentuk benda
2. Gesekan udara bergantung kekentalan udara saat itu (Nilainya tentu berbeda tergantung suhu, ketinggian, tekanan udara, dll.)
3. Gesekan udara bergantung pada kecepatan benda, semakin cepat benda bergerak, maka gaya gesekan akan semakin besar

Ada satu gaya lagi yang mempengaruhi gerak GJB, yaitu gaya Archimedes (gaya angkat) oleh udara kepada benda. Melalui gabungan ketiga gaya ini (gaya berat - gaya archimedes - gaya gesekan) kita bisa menurunkan rumus kecepatan terminal seperti yang ada di buku-buku Fisika SMA. Tetapi harap diperhatikan, jika fluidanya adalah udara, maka efek gaya Archimedes bisa diabaikan karena nilai gaya angkatnya terlalu kecil untuk kasus GJB, karena nilai massa jenis udara yang sangat kecil dibandingkan massa jenis benda. Nilai massa jenis udara secara rata-rata adalah 1,3 kg/m^3, bandingkan dengan massa jenis air misalnya yang bernilai 1000 kg.m^3. Jadi dalam kasus benda jatuh di udara secara GJB, efek gaya Archimedes bisa diabaikan.

Persoalan kecepatan jatuh benda pada pembahasan di fluida statis SMA adalah dengan mencari kecepatan terminalnya, dan rumus turunannya sudah ada, tinggal dipakai saja. Tetapi jika kita ingin meninjau gerakan benda sebelum benda mencapai kecepatan terminalnya, maka kita akan bertemu dengan persoalan fisika dan matematika yang lebih rumit sedikit (sedikit???). 

 Seperti semua permasalahan mekanika yang terkait dengan gerakan, para ahli fisika akan merasa puas jika sudah memperoleh persamaan kecepatan terhadap waktu dan persamaan posisi terhadap waktu. Sepertinya semua gerakan benda akan terjawab dan terramalkan jika dua persamaan dasar tersebut sudah diperoleh (kadang-kadang ditambahkan dengan persamaan percepatan). Inilah permasalahan yang akan kita otak-atik sedikit (sedikit???). Permasalahannya adalah kita harus dapat menentukan fungsi kecepatan terhadap waktu dan fungsi jarak terhadap waktu dari kasus GJB yang diperhitungkan gaya gesekannya. Tentu saja caranya bukan memodifikasi rumus GJB yang biasa dipakai di SMA, tetapi harus kembali kepada rumus sumber gerakan benda, rumus apakah itu? Ya anda benar! Haruslah kembali kepada perumusan Hukum Newton II. Wooowww....

Mari kita tinjau benda berbentuk bola yang bergerak jatuh bebas di udara dengan asumsi dasar v(0) = 0 dan x(0) = 0. Karena nilai-nilai yang lain berupa nilai yang tetap (mis: kekentalan udara dan jari-jari bola), maka kita bisa menuliskan gaya gesekan udara adalah : 

f = k.v

Jadi, melalui diagram gaya benda jatuh bebas, kita bisa membuka hukum Newton 2 sbb :

Sigma F = m.a

W - f = m.a

m.g - k.v = m.a

Nah, disini kita bertemu dengan persamaan yang mengandung v dan a, persamaan ini sulit untuk dikerjakan, karena itu kita akan kembali kepada perumusan a = dv/dt, jadi :

Sigma F = m.dv/dt

m.g - k.v = m.dv/dt

dv/(m.g - k.v) = dt/m

Walah... ketemu persamaan diferensial nih, so, siapkan senjata-senjata kalkulus kita, serbuuuu.... bom aja pake integral ....., jeleggeeeerrr....., maka persamaannya akan menjadi :

- 1/k ln (m.g - k.v) = 1/m .t + C

ln (m.g - k.v) = - k/m . t + C

m.g - k.v = e^(- k/m . t + C)

k.v = m.g - C.e^(-k/m . t)

v(t) = m.g/k - C.e^(-k/m . t)

Karena  kasusnya adalah GJB, so... v(0) = 0, jadi tinggal tembak aja persamaan terakhir tersebut dengan keadaan awalnya, maka matilah beberapa variabel sehingga yang masih hidup dan menjadi sandera kita  hanyalah :

C  = m.g/k

Sandera yang masih hidup ini jangan ditahan terlalu lama, kembalikan lagi dong ke yang empunya, maka :

v(t) = m.g/k - m.g./k.e^(-k/m . t)

v(t) = mg/k . (1 - e^(-k/m . t))

Than we found the equation of velocity through the time. Tuntas deh misi yang pertama, hehehe...

Misi kedua adalah : Menemukan persamaan jarak (x) terhadap waktu (t) yang tersembunyi dengan ketat! Dengan meninjau lokasi musuh, ternyata diperoleh hal yang sangat standar saja, yaitu :

v(t) = dx/dt

dx/dt = mg/k . (1 - e^(-k/m . t))

Tinggal gunakan strategi yang sama, yaitu bom pake integral dan tembak keadaan awalnya, temukan sandera dan kembalikan ke yang empunya, maka bisa diperoleh (Kerjakan sebagai latihan ya...) :

 x(t) = (m.g/k).t - (m^2.g/k^2).(1 - e^(-k/m . t))

Mission is Completed!!!

Kalau kita mau menguji kebenaran persamaan yang kita peroleh, maka interogasilah persamaan v(t) dengan cara lain, yaitu dengan deret dari e^-x :

e^(-x) = 1 - x + (x^2)/2! - (x^3)/3! + (x^4)/4! - ...

Jadi :

e^(-kt/m) = 1 - (kt/m) + (k^2.t^2 / m^2)/2! - (k^3.t^3 / m^3)/3! + (k^4.t^4 / m^4)/4! - ...

Masukkan nilai ini ke persamaan kecepatan  yang sudah susah payah kita peroleh :

v(t) =  mg/k . (1 - (1 - (kt/m) + (k^2.t^2 / m^2)/2! - (k^3.t^3 / m^3)/3! + (k^4.t^4 / m^4)/4! - ...))

Ambil k = 0, artinya tidak ada gaya gesekan udara, so we get :

v(t) = g.t

Kembali deh ke persamaan GJB SMA yang tanpa gaya gesekan udara. Kemudian kita interogasi persamaan x(t) dengan deret yang sama dan ambil k = 0, maka diperoleh :

x(t) = 1/2.g.t^2

Kembali deh ke persamaan GJB SMA yang tanpa gaya gesekan udara.
That's mean... we are in the right way.
Jadi, dua persamaan sakti untuk GJB + gaya gesek udara adalah :

v(t) = mg/k . (1 - e^(-k/m . t))


x(t) = (m.g/k).t - (m^2.g/k^2).(1 - e^(-k/m . t))

Ingatlah bahwa persamaan tersebut hanya untuk benda berbentuk bola saja dengan nilai k = 6.pi.r.eta

Sekarang mari kita mencari kecepatan terminal benda. Kembali ke persamaan awal dari Hukum Newton, syarat kecepatan terminal (vT) adalah kecepatan konstan sehingga berlaku Hukum newton I, yaitu :

Sigma F = 0

W - f = 0

m.g - k.vT = 0

vT = m.g/k

Kapankah benda mencapai kecepatan terminalnya? Masukkan nilai vT ini ke dalam persamaan kecepatan yang sudah kita peroleh dengan susah payah tersebut :

vT = mg/k . (1 - e^(-k/m . t)) 

mg/k =  mg/k . (1 - e^(-k/m . t))

1 - e^(-k/m . t) = 1

e^(-k/m . t) = 0

t memperoleh hasil tak berhingga (artinya x juga tak berhingga)

Lho? Artinya benda tidak akan pernah mencapai kecepatan terminalnya, paling hanya mendekati saja ??? Hehehe, coba pikirkan sendiri jawabannya mengapa demikian....

Let's practise...

Benda dengan berat 8 newton dijatuhkan dari suatu ketinggian tertentu, yang berawal dari keadaan diam. Jika kecepatan benda jatuh itu v dan percepatan gravitasi Bumi g = 10 m/s^2 dan gaya gesekan udara adalah -2v.

Carilah :

a. Persamaan kecepatan dan persamaan posisi benda
b. Kecepatan terminal benda
c. Kecepatan dan jarak benda setelah 1 detik
d. Kecepatan dan jarak benda setelah 2 detik
e. Kecepatan dan jarak benda setelah 3 detik
f.  Kecepatan dan jarak benda setelah 4 detik
g.  Kecepatan dan jarak benda setelah 5 detik 
h. Selisih jarak  x(2) - x(1) lalu x(3) - x(2), lalu x(4) - x(3) dan x(5) - x(4) 
i. KESIMPULAN : kapankah kecepatan bisa dianggap GLB?

JAWAB :

a. v(t) = 4(1 - e^(-2,5t))

    x(t) = 4t - 1,6(1 - e^(-2,5t))

b. Kecepatan terminal vT = mg/k = 4 m/s

c. v(1) = 3,672 m/s ; x(1) = 2,5313 m

d. v(2) = 3,973 m/s ; x(2) = 6,41078 m

e. v(3) = 3,99778766 m/s ; x(3) = 10,40088 m

f. v(4) = 3,9998184002 m/s ; x(4) = 14,4000726 m

g. v(5) = 3,999985093 m/s  ; x(5) = 18,40000596 m

h. x(2) - x(1) = 3,87944 m

    x(3) - x(2) = 3,990104 m

    x(4) - x(3) = 3,9991877 m

    x(5) - x(4) = 3,9999333 m 

   Jadi kecepatan semakin mendekati GLB

i. KESIMPULAN : Kecepatan bisa dianggap GLB tergantung ketelitian yang mau diambil. jika kita memakai ketelitian dua angka belakang koma, maka pada sekitar detik kedua dan ketiga kecepatan sudah bisa dianggap GLB.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar